DETERMINAN & INVERS MATRIKS

 Syarira Hanandhita Putri Ilham

 XI IPS 3


DETERMINAN & INVERS MATRIKS

                Determinan Matriks

Determinan suatu matriks didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder.  Determinan matriks hanya dapat ditentukan pada matriks persegi. Determinan dari matriks A dapat dituliskan det(A) atau |A|.

Untuk menentukan determinan dari sebuah matriks, terdapat dua aturan berdasarkan ordonya, yaitu ordo 2x2 dan ordo 3x3.

  •  Determinan  Matriks Ordo 2x2

Determinan matriks persegi dengan ordo 2x2 dapat dihitung dengan cara berikut:

image article

  • Determinan  Matriks Ordo 3x3

Determinan matriks persegi dengan ordo 3x3 dapat dihitung dengan menggunakan dua cara, yaitu kaidah Sarrus dan ekspansi kofaktor. Namun, cara yang paling sering digunakan dalam menentukan determinan matriks ordo 3x3 adalah dengan kaidah Sarrus.

Langkah-langkah mencari determinan matriks ordo 3x3 dengan kaidah Sarrus:

1. Meletakkan kolom pertama dan kolom kedua di sebelah kanan garis vertikal determinan.
2. Jumlahkan hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen yang sejajar diagonal utama pada arah kanan kemudian kurangi dengan jumlah hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal samping dengan elemen-elemen yang sejajar dengan diagonal samping.

image article

|A| = (a.e.i) + (b.f.g) +( c.d.h) – (c.e.g) – (a.f.h) – (b.d.i)

|A| = (a.e.i + b.f.g + c.d.h) – (c.e.g + a.f.h + b.d.i)

 

                  Invers Matriks

Invers matriks adalah kebalikan (invers) dari sebuah matriks yang apabila matriks tersebut dikalikan dengan inversnya, akan menjadi matriks identitas. Invers matriks dilambangkan dengan A-1. Suatu matriks dikatakan memiliki invers jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol.

Untuk menentukan invers dari sebuah matriks, terdapat dua aturan berdasarkan ordonya, yaitu ordo 2x2 dan ordo 3x3.

  • Invers  Matriks Ordo 2x2

Invers matriks persegi dengan ordo 2x2 dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

image article

  • Invers  Matriks Ordo 3x3

Untuk mencari invers matriks pada ordo 3x3, dapat digunakan metode eliminasi Gauss Jordan.

Secara sistematis, eliminasi Gauss Jordan dapat dinyatakan sebagai berikut:

image article

Matriks persegi A dieliminasi menggunakan operasi aljabar sampai membentuk matriks identitas. Operasi yang dilakukan pada matriks A juga dilakukan pada matriks identitas sehingga jika matriks A sudah menjadi matriks identitas, maka matriks identitas akan berubah menjadi invers dari matriks A.


Contoh Soal 1

image article

A. -196
B. -188
C. 21
D. 188
E. 196

Jawaban:

A. 196

Pembahasan:

image article

Contoh soal 2

Tentukanlah determinan matriks berikut!

determinan

Pembahasan:

determinan


Contoh soal 3

Tentukan determinan matriks berikut ini menggunakan aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor!

Pembahasan:

  • Aturan Sarrus

Agar lebih mudah, kita tulis kembali elemen-elemen pada kolom ke-1 dan ke-2 di sebelah kanan matriks A sebagai berikut:

determinan

Kemudian, kita tarik garis putus-putus seperti gambar di atas. Kalikan elemen-elemen yang terkena garis putus-putus tersebut. Hasil kali elemen yang terkena garis putus-putus berwarna biru diberi tanda positif (+), sedangkan hasil kali elemen yang terkena garis putus-putus berwarna oranye diberi tanda negatif (-). Ingat urutan penulisannya juga, ya!

  • Metode Minor-Kofaktor

Berdasarkan rumus minor-kofaktor di atas, determinan matriks A dapat dicari dengan menghitung jumlah seluruh hasil kali antara kofaktor matriks bagian dari matriks A dengan elemen-elemen pada salah satu baris atau kolom matriks A. Jadi, pertama, kita pilih salah satu baris atau kolom matriks A untuk mendapatkan nilai determinannya. Misalnya, kita pilih baris ke-1. Elemen-elemen matriks baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13.

determinan

Selanjutnya, karena kita pilih elemen-elemen pada baris ke-1, rumus determinan matriks yang kita gunakan adalah sebagai berikut:

determinan

Langkah kedua, kita cari kofaktor matriks bagian dari matriks A (Cij). Cij = (-1)i+j Mij dan Mij = det Aij dengan Aij merupakan matriks bagian dari matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Maksudnya bagaimana? Oke, coba kamu perhatikan baik-baik ya.

Sebelumnya, kita telah memilih elemen-elemen pada baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13. Oleh karena itu, matriks bagian dari matriks A nya adalah A11, A12, dan A13.

  • A11 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-1.
determinan
  • A12 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-2.
determinan
  • A13 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-3.
determinan

Sehingga,

determinan


Contoh soal 4

Tentukanlah invers dari matriks berikut.

Pembahasan:

 

Catatan: elemen-elemen yang berada di lingkar biru merupakan diagonal utama matriks A yang ditukar posisinya, sedangkan elemen-elemen yang berada di lingkar oranye merupakan diagonal kedua matriks A yang dikalikan dengan minus satu (-1).

Contoh soal 5

Tentukan invers matriks berikut dengan menggunakan adjoin!

contoh invers matriks 3x3

Penyelesaian:

 

berdasarkan rumus di atas, kita membutuhkan determinan dan adjoin matriks A. Pertama, kita cari terlebih dahulu determinan matriks A menggunakan metode yang sudah dijelaskan sebelumnya. Bisa dengan cara aturan Sarrus ataupun metode minor-kofaktor. Misalnya, kita akan menggunakan metode Sarrus, sehingga:

penyelesaian invers matriks 3x3

Kemudian,tentukan adjoin matriks dengan mencari kofaktor matriks A tersebut.

penyelesaian invers matriks 3x3

Oleh karena itu,

penyelesaian invers matriks 3x3

Jadi,

penyelesaian invers matriks 3x3


Contoh soal 6

Tentukan invers matriks A dengan transformasi baris elementer.

invers

Pembahasan:

Pertama-tama, kita bentuk matriks A menjadi matriks (A3|I3).

invers

Lalu, kita transformasikan matriks (A3|I3) ke bentuk (I3|A3). Kita bisa menggunakan beberapa cara seperti yang dijelaskan poin a-d pada langkah ke-2 rumus di atas.

transformasi baris elementer

Keterangan:

1)  B2-2B1 = elemen-elemen baris ke-2 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-1.

2)  B3-2B1 = elemen-elemen baris ke-3 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-1.

3)  B3+B2 = elemen-elemen baris ke-3 ditambah elemen-elemen baris ke-2.

4)  1/5B3 = elemen-elemen baris ke-3 dikali degan ⅕.

5)  B2-2B3 = elemen-elemen baris ke-2 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-3.

6)  B1-B2 = elemen-elemen baris ke-1 dikurang elemen-elemen baris ke-2.

Sehingga, diperoleh invers matriks A, yaitu:

invers


DAFTAR PUSTAKA

https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/matriks-pengertian-operasi-determinan-invers-dan-contoh-soal








Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN

Gambar
  SYARIRA HANANDHITA PUTRI ILHAM  X IPS 1  MATEMATIKA WAJIB LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN Luas Segi-n Beraturan Segi n beraturan pada umumnya terbagi menjadi beberapa jenis seperti segitiga, segiempat, segi lima, segi enam, seni tujuh, segi delapan dan sebagainya. Segi n beraturan ini memiliki rumus yang berbeda-beda. Bagaimana rumus segi n beraturan itu? Bangun datar segi n beraturan pada umumnya berasal dari lingkaran yang dibagi menjadi beberapa bagian yang besarnya sama sehingga bentuknya menyerupai segitiga sama kaki. Segi n beraturan memang berasal dari bagian-bagian kecil pada lingkaran. Untuk itu rumus segi n beraturan melibatkan jari jari dan sudut pusat di dalamnya. Sudut pusat ialah sudut segitiga (dinyatakan dalam tanda sudut berwarna merah) yang memiliki besar 360°/n. Selain itu dalam bangun datar segi n beraturan terdapat sisi yang dinyatakan dalam bentuk x. Untuk...
Baca selengkapnya

LIMIT

Gambar
Syarira Hanandhita Putri Ilham XI IPS 3 LIMIT Dalam matematika , limit adalah nilai yang mendekati suatu fungsi (atau urutan ) ketika masukan (atau indeks) mendekati suatu nilai . Batas sangat penting untuk kalkulus dan analisis matematika , dan digunakan untuk menentukan kontinuitas , turunan , dan integral . Konsep limit barisan selanjutnya digeneralisasi menjadi konsep limit jaringan topologi , dan terkait erat dengan limit dan limit langsung dalam teori kategori . Dalam rumus, limit suatu fungsi biasanya ditulis sebagai {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L,} a) Limit Fungsi Aljabar Limit fungsi aljabar terdiri dari jenis bagian yaitu nilai  x mendekati satu titik   dan nilai x mendekati tak berhingga (∞) . Cara penyelesaian nilai x mendekati berhingga adalah dengan  substitusi, pemfaktoran, dan dikalikan dengan sekawanny a. Sedangkan untuk limit fungsi aljabar di mana x mendekati tak berhingga penyelesainnya yaitu dengan  dibagi variabel pangkat tertinggi ...
Baca selengkapnya

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Gambar
  Syarira Hanandhita Putri Ilham  X IPS 1  Matematika                                          IDENTITAS TRIGONOMETRI Identitas trigonometri adalah suatu relasi atau kalimat terbuka yang memuat fungsi-fungsi trigonometri dan yang bernilai benar untuk setiap penggantian variabel dengan konstanta anggota domain fungsinya. Domainnya sering tidak dinyatakan secara eksplisit. Jika demikian maka umumnya yang dimaksud adalah himpunan bilangan real. Namun dalam trigonometri identitas yang memuat fungsi tangens, kotangens, sekans dan kosekans domain himpunan bilangan real ini sering menimbulkan masalah ketakhinggaan. Karena itu maka dalam hal tersebut, meskipun tidak dinyatakan secara eksplisit, maka syarat terjadinya fungsi tersebut merupakan starat yang perlu diperhitungkan. rumus identitas trigonometri Kebenaran suatu relasi atau suatu kalimat terbuka sebagai suatu identitas...
Baca selengkapnya