IDENTITAS TRIGONOMETRI
Syarira Hanandhita Putri Ilham
X IPS 1
Matematika
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Identitas trigonometri adalah suatu relasi atau kalimat terbuka yang memuat fungsi-fungsi trigonometri dan yang bernilai benar untuk setiap penggantian variabel dengan konstanta anggota domain fungsinya. Domainnya sering tidak dinyatakan secara eksplisit. Jika demikian maka umumnya yang dimaksud adalah himpunan bilangan real. Namun dalam trigonometri identitas yang memuat fungsi tangens, kotangens, sekans dan kosekans domain himpunan bilangan real ini sering menimbulkan masalah ketakhinggaan. Karena itu maka dalam hal tersebut, meskipun tidak dinyatakan secara eksplisit, maka syarat terjadinya fungsi tersebut merupakan starat yang perlu diperhitungkan.
 |
| rumus identitas trigonometri |
Kebenaran suatu relasi atau suatu kalimat terbuka sebagai suatu identitas perlu diverifikasi atau dibuktikan berdasar aturan atau rumus dasar yang mendahuluinya.
- MEMBUKTIKAN KEBENARAN IDENTITAS
(i) ruas kiri diubah bentuknya sehingga menjadi tepat sama dengan ruas kanan.
(ii) Ruas kanan diubah bentuknya sehingga menjadi tepat sama dengan ruas kiri.
(iii) Ruas kiri diubah bentuknya menjadi suatu bentuk mlain, ruas kanan diubah menjadi bentuk lain, sehingga kedua bentuk akhir itu sama.
Dua yang pertama merupakan pilihan utama. Secara umum, yang diubah adalah biasanya adalah bentuk yang paling kompleks dibuktikan sama dengan bentuk yang lebih sederhana.
Keberhasilan pembuktian kebenaran suatu identitas memerlukan:
(i) telah dikuasainya relasi, aturan atau rumus-rumus dasar trigonometri dan aljabar.
(ii) Telah dikuasainya proses pemfaktoran, penyederhanaan, operasi pada bentuk pecahan dan operasi hitung lainnya serta operasi dasar aljabar.
(iii) Pelatihan yang cukup.
Dalam proses pembuktian, selain yang disebutkan pada dua butir pertama di atas, yang sangat penting diperhatikan ialah bahwa (1) perubahan-perubahan bentuk yang dilakukan berorientasi pada tujuan (ruas lain yang dituju). Maksudnya, bentuk-bentuk yang dituju biasanya adalah bentuk atau derajat yang lebih sederhana dan dapat dikondisikan atau “dipaksakan” adanya, dengan penyesuaian bentuk-bentuk lainnya dan (2) selain menggunakan hubungan antara sekans dan tangens, kosekans dan kotangens, fungsi-fungsi tangens, kotangens, sekans, dan kosekans juga dapat diubah ke fungsi sinus dan atau kosinus.
- RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI
I. RELASI/RUMUS DASAR FUNGSI TRIGONOMETRI
1. RELASI KEBALIKAN RELASI PEMBAGIAN RELASI “PYTHAGORAS”
2. FUNGSI TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT YANG BERELASI
Kofungsi: sin(90 – a) = cos a cos(90 – a) = sin a
Tan(90 – a) = cot a cot(90 – a) = tan a
Sec(90 – a) = csc a csc(90 – a) = sec a
sin(180 – a)o = sin ao sin(180 + a)o = -sin ao
cos(180 – a)o = -cos ao cos(180 + a)o = -cos ao
tan(180 – a)o = -tan ao tan(180 – a)o = tan ao
sin(360 – a)o = -sin ao sin(-ao) = -sin ao
cos(360 – a)o = cos ao cos(-ao) = cos ao
tan(360 – a)o = -tan ao tan(-ao) = -tan ao
II. RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT
1. RUMUS JUMLAH DAN RUMUS SELISIH
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b
2. RUMUS SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos b
cos 2a = cos2a – sin2a
= 1 – 2 sin2a
= 2 cos2a – 1
III. RUMUS JUMLAH, SELISIH, DAN HASIL KALI FUNGSI SINUS/KOSINUS
1. HASIL KALI SINUS DAN KOSINUS 2. JUMLAH DAN SELIEIH SUDUT
sin a cos b = 1/2(sin(a + b) + sin(a – b)) sin A + sin B = 2 sin 1/2(A + B) cos 1/2(A + B)
cos a sin b = 1/2(sin(a – b) – sin(a – b)) sin A – sin B = 2 cos1/2(A – B) sin1/2 (A – B)
cos a cos b = 1/2(cos(a – b) – cos(a – b)) cos A + cos B = 2 cos 1/2(A + B) cos 1/2(A – B)
sin a sin b = -1/2(cos(a – b) – sin(a – b)) cos A – cos B = -2 sin 1/2(A – B) sin 1/2(A – B)
Kesulitan dalam “menghafal rumus” disebabkan semuanya hendak dihafalkan satu persatu. Untuk memahami hal-hal “serupa tapi tak sama” yang penting adalah mencari bentuk umum dan perbedaannya.
- CONTOH SOAL IDENTITAS TRIGONOMETRI:
Contoh 1:
(Pembuktian dilakukan dengan mengubah bentuk ruas kanan untuk disederhanakan ke bentuk ruas kiri. Pilihan ini menuju ruas kiri ini terutama karena bentuk ruas kiri lebih sederhana).
Buktikanlah bahwa sec4q – sec2q = tan4q + tan2q
Bukti:
Alternatif I Dari ruas kiri Alternatif II Dari ruas kanan
Ruas kiri: Ruas kanan:
sec4q – sec2q tan4q + tan2q
= sec2q(sec2q – 1) = tan2q(tan2q – 1)
= sec2q x tan2q = (sec2q – 1) sec2q
= (1 + tan2q) x tan2q = = sec4q – sec2q
= tan2q + tan4q = ruas kiri (terbukti)
= tan4q – tan2q
= ruas kanan (terbukti)
contoh soal 2 :
Buktikan identitas berikut:
- Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α)
Jawab:
- Sin β . Tan β + Cos β = Sec β
Jawab:
Buktikan persamaan rumus identitas trigonometri di bawah!
Bukti:
Terbukti
contoh soal 5:
Buktikan rumus identitas trigonometri berikut!
cos3α = 4 cos3α – 3 cos α
Bukti rumus identitas trigonometri cos 3α = 4 cos3α – 3 cos α:
cos 3α = cos (2α + α)
= cos 2α cos α – sin 2α sin α
= (2 cos2α – 1)cos α – 2 sin α cosα sinA
= 2 cos3α – cos α – 2sin2α cos α
= 2cos3α – cos α – 2(1 – cos2α)cos α
= 2 cos3α – cos α – 2 cos α + 2 cos3A
= 2 cos3α + 2 cos3A – cos α – 2 cos α
= 4 cos3α – 3 cos α [terbukti]
Komentar
Posting Komentar