LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN

SYARIRA HANANDHITA PUTRI ILHAM

X IPS 1

MATEMATIKA WAJIB

LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN

Luas Segi-n Beraturan

Segi n beraturan pada umumnya terbagi menjadi beberapa jenis seperti segitiga, segiempat, segi lima, segi enam, seni tujuh, segi delapan dan sebagainya. Segi n beraturan ini memiliki rumus yang berbeda-beda. Bagaimana rumus segi n beraturan itu? Bangun datar segi n beraturan pada umumnya berasal dari lingkaran yang dibagi menjadi beberapa bagian yang besarnya sama sehingga bentuknya menyerupai segitiga sama kaki.

Segi n beraturan memang berasal dari bagian-bagian kecil pada lingkaran. Untuk itu rumus segi n beraturan melibatkan jari jari dan sudut pusat di dalamnya. Sudut pusat ialah sudut segitiga (dinyatakan dalam tanda sudut berwarna merah) yang memiliki besar 360°/n. Selain itu dalam bangun datar segi n beraturan terdapat sisi yang dinyatakan dalam bentuk x. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini.

Bangun datar segi n beraturan dapat dihitung luas dan kelilingnya menggunakan rumus pada luas segitiga dengan sudut di dalamnya. Untuk itu terdapat peran aturan sinus pada perhitungan luasnya dan aturan kosinus pada perhitungan kelilingnya. Karena dalam rumus segi n beraturan terdapat peran aturan sinus dan kosinus di dalamnya, maka alangkah lebih baik jika anda memahami tentang nilai perbandingan trigonometri terlebih dahulu yang berkaitan dengan sudut sudut istimewa. Pada kesempatan kali ini saya akan menjelaskan tentang rumus luas segi n beraturan dan rumus keliling segi n beraturan beserta contoh soal. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak di bawah ini.

Luas Bangun Datar Segi n Beraturan

Untuk menghitung luas pada segi n beraturan dapat dilakukan dengan menggunakan rumus luas segitiga dengan aturan sinus di dalamnya. Adapun rumus segitiganya yaitu meliputi:

Luas Segitiga = ½.r.r.sin θ = ½ r² sin 360°/n

Rumus luas segitiga menggunakan aturan sinus di atas dapat digunakan untuk menghitung luas pada segi n beraturan. Adapun rumus luas segi n beraturan yaitu sebagai berikut:

Luas segi n = n × Luas Segitiga
Luas segi n = n/2 r² sin 360°/n

Keliling Bangun Datar Segi n Beraturan

Selain rumus luas bangun datar segi n beraturan di atas, adapula rumus keliling segi n beraturan. Panjang segi n (x) dapat dihitung menggunakan aturan kosinus. Panjang x menurut aturan kosinus dalam segitiga PRQ dapat dihitung dengan persamaan seperti di bawah ini:

Dari persamaan di atas dapat diperoleh rumus keliling segi n beraturan seperti di bawah ini:

Keterangan:

θ = Sudut pusat yang besarnya 360º/n

Contoh Soal dan Pembahasannya

Contoh 1 :

Tentukan luas dan keliling segi enam beraturan yang jari jarinya memiliki panjang 20 cm?

Pembahasan.
Contoh soal tersebut dapat diselesaikan dengan rumus segi n beraturan seperti di bawah ini:
n = 6 (karena bentuknya segienam)
r = 20 cm

Sehingga,
Luas segienam = n/2 r² sin 360°/n
= 6/2 20² sin 360°/6
= 600 sin 60
= 600 ½√3
= 300√3 cm²

Keliling = nr √(2 – 2 cos 360°/n)
=6.20 √(2 – 2 cos 360°/6)
= 120 √(2 – 2.½)
= 120 √(2 -1)
= 120 √1
= 120 cm
Jadi luas dan keliling segi enam beraturan 300√3 cm² dan 120 cm.

Contoh 2 :

Bangun datar segi 12 beraturan memiliki besar luas 48 cm². Maka tentukan:
a. Panjang sisi dan panjang jari jari
b. Keliling segi 12 beraturan

Pembahasan.
a. Contoh soal segi n beraturan tersebut dapat diselesaikan dengan rumus tertentu. Adapun rumus luas segi n beraturan yaitu sebagai berikut:
Luas Segi 12 = n/2 r² sin 360°/n
48 = 12/2 r² sin 360°/12
48 = 6r² sin 30
48 = 6r² ½
48 = 3r²
r² = 16
r = 4 cm

Maka,
Panjang sisi segi 12 = r√(2 – 2 cos 360°/n)
= 4√(2 – 2 cos 360°/12)
= 4√(2 – 2 cos 30°)
= 4√(2 – 2.½√3)
= 4√(2 – √3)

b. Selanjutnya menggunakan rumus keliling segi n beraturan dengan beberapa langkah seperti di bawah ini:
Keliling = n.x
= 12.4√(2 – √3)
= 48√(2 – √3)

Contoh 3:

Tentukan luas segi 12 beraturan yang jari jari lingkaran luarnya memiliki panjang 9 cm?

Pembahasan.
Diketahui : r = 9 cm; n = 12
Ditanyakan : Luas = ?
Jawab :
Untuk menyelesaikan contoh soal tersebut dapat dilakukan dengan rumus seperti di bawah ini:
Luas = n/2 r² sin 360º/n
= 12/2 x 9² x sin 360º/12
= 6 x 81 x sin 30º
= 6 x 81 x ½
= 243 cm²
Jadi luas segi 12 beraturan tersebut ialah 243 cm².

Jari-Jari Liingkaran Dalam/Luar Segitiga

Lingkaran Dalam Segitiga

Sebuah lingkaran dapat sobat buat dalam sebuah segitiga. Caranya, buatlah garis bagi simetris dari masing-masing segitiga. Garis bagi adalah garis yang membagi sudut segitia tersebut sama besar (Bagaiaman cara membuat garis bagi akan kita bahas nanti). Dari titik perpotongan ketiga garis bagi tersebut dapat dibuat sebuah lingkaran. Titik potong ketiga garis bagiakan menjadi pusat lingkaran dan kelilingnya akan tepat menyinggung masing-masing sisi segitiga.

Jari-Jari Lingkaran Dalam

Perhatikan gambar di atas, jari-jari lingkarang yang akan kita cari adalah OE = OF = OD. Ketiganya sama dengan tinggi dari segitiga 1, 2 da 3.

Luas Segitiga Besar = Luas ΔI + Luas ΔII + Luas ΔIII

——————- = 1/2 (AB x OD) + 1/2 ( CB x OE) + 1/2 (AC x OF)

——————- = 1/2 (AB x r) + 1/2 (CB x r) + 1/2 (AC x r)

——————- = 1/2 r (AB + CB + C)

——————- = 1/2. r. Keliling Segitiga (setengah keliling bisa dilambangkan dengan s?)

——————- = r. S

Jadi

L = r . S

r = L/S

jadi, jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga dengan 1/2 kelilingnya. Sekarang yang menjadi masalah adalah bagaimana mencari luas segitiganya? Karena segitiga di atas adalah segitiga sembarang sobat bisa menggunakan rumus

Jadi rumus jari-jari lingkaran dalam menjadi:

dengan
L = Luas Segitiga
S = 1/2 keliling Δ = 1/2 (a+b+c)

Rumus di atas tergantung jenis segitiga. Kalau segitiga siku-siku akan lebih enak mencari luasnya dengan rumus 1/2 alas kali tinggi daripada menggunakan s. Baca Rumus Lengkap Berbagai Bentuk Segitiga.

Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar segitiga adalah lingkran yang dibentuk dari perpanjangan garis bagi tiga sisi segitiga dan kelilinya akan tepat menyinggung tiga titi sudut segitiga yang ada di dalamnya. Perhatikan gambar di bawah ini

Pada gambar diatas, terdapat sebuah segitiga ABC dengan dengan sisi a,b, dan c. Ada lingkaran luar yang berpusat di titik O yang mengitari segitiga tersebut. OA, OB, OC. dan OD masing-masing adalah jari-jari lingkaran luar yang akan kita cari rumusnya. Untuk membantu menemukan rumus jari-jari, kita memakai garis bantu yaitu garis tinggi segitiga CT dan garis diameter yang ditarik dari titik C (garis CD).

Coba sobat perhatikan ΔCAD dengan ΔCTB

∠CAD = ∠CTB = 90^o (ingat sifat sudut keliling yang menghadap diameter sama dengan 90º)

∠ADC = ∠TBC (ingat bahwa dua sudut keliling yang menghadap busur lingkaran yang sama adalah sama besar)

Karena ada dua pasang sudut yang sama maka bisa disimpulkan bahwa ΔCAD dan ΔCTB sebagung (kongruen). Karena sebangun maka perbandingan sisi-sisinya akan sama.

BC/CD = CT/AC
CD (diameter) = BC x AC / CT
CD (diameter) = a x b / CT_{……. (persamaan 1)}

Nilai CT bisa kita cari dengan persamaan Luas

Luas ΔABC = 1/2 AB x CT
2 Luas ΔABC = AB x CT
CT = 2 Luas ΔABC / AB
CT = 2L/ c_{……..(persamaan 2)}

Kita masukkan persamaan 2 ke persamaan 1

CD = a x b / CT
CD = a x b / (2L/c)
CD = a x b x c / 2L

Jari-jari = 1/2 CD
r = 1/2 CD = a x b x c / 4L

a,b,dan c = sisi-sisi segitiga
L = luas segitiga

Contoh Soal dan Pembahasannya

Contoh 1 :

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 6 cm, 8 cm, dan 10 cm. Hitunglah:
a. Keliling lingkaran dalam segitiga
b. Luas lingkaran luar segitiga

Penyelesaian:
Diketahui a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm

Contoh 2 :

Tentukan jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga yang mempunyai panjang sisi 20 cm, 21 cm, 13 cm.

Jawaban:
Diketahui a = 20 cm, b= 21 cm, dan c= 13 cm.
Sehingga S = (20 + 21 + 13)/2 = 27 cm
Selanjutnya menentukan luas segitiga.

Kemudian menentukan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga.
r = L/s = 126 / 27 = 4,67 cm

Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga yang mempunyai ukuran sisi 20 cm, 21 cm dan 13 cm adalah 4,67 cm.

Menentukan jari-jari lingkaran luar segitiga.

Jadi, jari-jari lingkaran luar segitiga adalah 10,833 cm.

Contoh 3 :

Diketahui segitiga dengan panjang sisi-sisinya 26 cm, 28 cm dan 30 cm.
Tentukan panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luarnya.

Jawaban:
Misalkan : a = 26 cm, b = 28 cm dan c = 30 cm.
Sehingga S = (26 + 28 + 30)/2 = 42 cm
Selanjutnya menentukan luas segitiga

Menentukan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga
r = L/s = 336/42 = 8 cm

Menentukan jari-jari lingkaran luar segitiga

Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga berturut-turut 8 cm dan 16,25 cm.

Garis Singgung Persekutuan Luar/Dalam Lingkaran

Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Buah Lingkaran.

Yang dimaksud panjang garis singgung persekutuan dalam di sini adalah panjang ruas garis yang dibentuk oleh titik-titik singgung lingkaran dengan garis singgung persekutuan dalam. Perhatikan gambar!!

Gambar di atas menunjukkan lingkaran P dan lingkaran Q yang secara berturut-turut memiliki panjang jari-jari r₁ dan r₂. Garis RT merupakan garis singgung persekutuan dalam dari lingkaran-lingkaran P dan Q. Apabila ruas garis RT digeser ke atas sejauh PT sedemikian sehingga titik T berimpit dengan P dan menghasilkan ruas garis SP maka SP = RT, dan SR = PT = r₁. Perhatikan bahwa SQ = SR + RQ = PT + RQ = r₁ + r₂, dan jarak antara titik-titik pusat lingkaran-lingkaran P dan Q adalah d. Karena segitiga QSP siku-siku di S, maka berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut:

Sehingga, dari pembahasan mengenai panjang garis singgung persekutuan dalam di atas, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Kuadrat dari panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran sama dengan kuadrat dari jarak titik-titik pusat kedua lingkaran dikurangi dengan kuadrat dari jumlah panjang jari-jarinya.

Rumus Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Buah Lingkaran.

Misalkan lingkaran A dan lingkaran B berikut secara berturut-turut memiliki jari-jari yang panjangnya r₁ dan r₂, seperti diperlihatkan oleh gambar berikut ini.

Garis DC di atas merupakan garis singgung persekutuan luar dari lingkaran A dan lingkaran B. Apabila Ruas garis DC digeser ke bawah sejauh CE sedemikian sehingga titik D berimpit dengan titik A, maka DC = AE dan DA = CE. Perhatikan bahwa EB = CB – CE, dan misalkan AB = d.

Karena segitiga AEB siku-siku di E, maka berlaku teorema Pythagoras seperti berikut:

Karena AE = DC, AB = d, dan EB = CB – CE = r₂ – r₁ maka :

Sehingga, dari pembahasan di atas diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
Kuadrat dari panjang ruas garis singgung persekutuan luar dua lingkaran sama dengan kuadrat dari jarak titik pusat kedua lingkaran dikurangi dengan kuadrat dari selisih jari-jarinya.

Contoh Soal dan Pembahasannya

Contoh Soal 1 : ( dalam)

Diketahui dua buah lingkaran dengan jarak kedua pusat lingkaran 15 cm, jari-jari lingkaran besar 5 cm, dan jari-jari lingkaran kecil 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalamnya?
Penyelesaian :

PQ = d = 15cm

r₂ = 5

r₁ = 4

RT = √(d² – ( r₁+ r₂ )²)

= √(15² – ( 4+ 5 )²)

= √(225 - ( 9 )²)

= √(225 - 81)

= √144

= 12

Contoh 2 : ( luar)

Diketahui dua buah lingkaran dengan jarak kedua pusat lingkaran 26 cm, jari-jari lingkaran besar 12 cm, dan jari-jari lingkaran kecil 2 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalamnya?

AB = d = 26cm

r₂ =12

r₁ =2

RT = √(d² – ( r₁- r₂ )²)

= √(26² – ( 12- 2 )²)

= √(676 - ( 10 )²)

= √(676 - 100)

= √576

= 24

Contoh 3 :

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm. Panjang jari-jari lingkaran yang besar adalah 6 cm. Jika jarak antara kedua titik pusat sama dengan 17 cm, hitunglah panjang jari-jari yang lingkaran kecil!

Penyelesaian:
d = 15 cm,
r1 = 6 cm,
s = 17 cm

d2 = s2 – (r1 + r2)2
152 = 172 – (6 + r2)2
225 = 289 – (6 + r2)2
(6 + r2)2 = 289 – 225
= 64
6 + r2 = √64
6 + r2 = 8
r2 = 8 – 6 = 2 cm