PROGRAM LINEAR

Juli 16, 2022

Syarira Hanandhita Putri Ilham

XI IPS 3

PROGRAM LINEAR

Adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.

program linear persoalan maksimum minimum

A. Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Misalnya ada soal contoh soal pertidaksamaan linear dua variabel kelas 10 seperti ini:

Dari pertidaksamaan 4x + 3y – 12 ≥ 0, tentukan daerah penyelesaiannya!

Langkah-langkah untuk menentukan daerah penyelesaian adalah sebagai berikut:

Pindahkan variabel ke ruas kiri dan konstanta di ruas kanan.
4x + 3y ≥ 12
Ubah tanda pertidaksamaan menjadi sama dengan.
4x + 3y = 12

Tentukan titik poinnya, kalau akan menggunakan sumbu-x berarti y=0, sebaliknya kalau menggunakan sumbu-y berarti x=0.

langkah menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel zenius

Gambar titik potongnya.

langkah menentukan daerah penyelesaian SPLDV zenius

Lakukan uji titik untuk mendapatkan daerah penyelesaiannya. Kita ambil titik yang berada di dalam garis (kiri garis).

Misalnya titik (2,0). Sekarang kita substitusi ke dalam persamaan 4x + 3y ≥ 12 menjadi 4(2) + 3(0) ≥ 12, hasilnya 8 ≥ 12.

Kira-kira benar gak kalau 8 lebih besar sama dengan 12? Salah ya, berarti daerah penyelesaiannya ada di kanan garis atau di luar garis.

langkah menentukan daerah penyelesaian SPLDV benar atau salah zenius

kalau hasil uji titiknya salah, berarti daerahnya ada di luar garis (kanan), sedangkan hasil uji titiknya benar, maka daerahnya ada di dalam garis (kiri).

Lalu, apa perbedaan antara notasi ≥ dan > atau ≤ dan <?

Letak perbedaannya ada pada garis. Untuk notasi yang ada sama dengannya (=) misal lebih besar sama dengan (≥) dan kurang dari sama dengan (≤), maka garisnya nyambung, tidak terputus seperti pada contoh penyelesaian daerah di atas. Sedangkan, untuk notasi lebih dari (>) dan kurang dari (<), garisnya putus-putus seperti ini.

perbedaan notasi sistem pertidaksamaan linear dua variabel zenius

B. Program Linear dan Model Matematika

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:

model matematika program linear

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:

Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.
Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000
Masing-masing model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:

Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y

Syarat:

200x + 180y ≤ 72.000
150x + 170y ≤ 64.000
x ≥ 0
y ≥ 0

Contoh Soal 1

Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan 1:

Langkah 1 menggambar grafiknya

contoh soal program linear

Langkah 2 menentukan titik ekstrim

Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.

Lankah 3 menyelidiki nilai optimum

Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

menyelidiki nilai optimum

Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18

Contoh Soal 2

Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

pembahasan soal

Pembahasan 2:

Titik ekstrim pada gambar adalah:

A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.
B(3, 6)
C(8, 2)
D(8, 0)

Nilai tiap titik ekstrim adalah:

$B(3, 6) \longrightarrow f(3, 6) = 4(3) + 5(6) = 42$
$C(8, 2) \longrightarrow f(8, 2) = 4(8) + 5(2) = 42$
$D(8, 0) \longrightarrow f(8, 0) = 4(8) + 5(0) = 32$

Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.

Contoh Soal 3

Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Pembahasan 3:

Diketahui:

contoh soal model matematika