SOAL FUNGSI: KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL

 SYARIRA HANANDHITA PUTRI ILHAM

  X IPS 1

SOAL  FUNGSI: KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL

• Fungsi Kuadrat

1. Grafik dari y = 4x - x2 paling tepat di gambar sebagai ....

Pembahasan:

y = 4x - x2 dapat ditulis menjadi y = - x2 + 4x, dengan koefisien-koefisien a = -1, b = 4, dan c = 0.

Karena a = -1 < 0 maka grafik terbuka ke bawah

* Nilai diskriminannya (D):

   D = b2 - 4ac = (4)2 - 4(-1)(0) = 16

   Karena D = 16 > 0, maka grafik memotong sumbu X di dua titik.

* Titik potong dengan sumbu x ⇔ y = 0

   y = 4x - x² atau 4x - x² = y
  ⇔- x2 + 4x = 0

  ⇔ x(-x + 4) = 0

  ⇔ x = 0 atau x = 4

Jadi, grafik y = 4x - x2 yang benar adalah grafik pada jawaban B.

2. Diketahui parabola y = mx² - (m + 4)x - 1 dan garis lurus y = x  - ½. Jika parabola dan garis lurus itu saling bersinggungan maka nilai m = .....

A. -2 atau 8
B. -4 atau 4
C. 2 atau -8

D. -2 atau -8
E. 2 atau 8
Pembahasan:
Subtitusikan persamaan garis ke persamaan parabola:
mx² - (m + 4)x - 1 = x - ½
mx² - (m + 4)x - 1 + ½ = 0
mx² - (m + 4)x - ½ = 0

Syarat bersinggungan, D = 0
b² - 4ac = 0
(m + 4)² - 4(m)(-½) = 0
m² + 8m + 16 + 2m = 0
m² + 10m + 16 = 0
(m + 2)(m + 8) = 0
m = -2 atau m = -8
(Jawaban: D)

3. Grafik fungsi y = x2 - 4x + a tidak memotong sumbu X di dua titik jika . . . .

A. a < 0
B. a < 4
C. a ≤ 4
D. a > 4
E. a ≥ 4

Pembahasan:

Fungsi y = x2 - 4x + a, koefisien-koefisiennya a = 1, b = -4, dan c = a memotong sumbu X di dua titik. Berarti kemungkinannya:

1) Tidak memotong memotong sama sekali => D < 0

2) Menyinggung sumbu X => D = 0

Sehingga syarat yang dipenuhi adalah D ≤ 0

⇔ b2 - 4ac ≤ 0

⇔ (-4)2 - 4(1)(a) ≤ 0

⇔ 16 - 4a ≤ 0

⇔ 16 ≤ 4a

⇔ 4 ≤ a

⇔ a  ≥ 4
(Jawaban: E)

4.Titik puncak dari parabola {(x,y)| y = 2x2 - 12x + 14} adalah. . . . .

A. (3 , 4)
B. (3 , -4)
C. (6 , 4)
D. (6 , -4)
E. (3, 6)

Pembahasan:

y = 2x2 - 12x + 14 dengan a = 2, b = -12, dan c = 14

Titik puncak (xp , yp):

xp = −b2a−b

   2a

     = −(−12)2(2)
     = 124
     = 3

yp = b²−4ac−4a
     = (−12)²−4(2)(14)−4(2)
     = 144−112−8
     = 32−8
     = -4

      −(−12)2(2)
 Jadi, titik puncaknya adalah (3 , -4)

(Jawaban: B)

5. Jika parabola y = x2 - px + 7 puncaknya mempunyai absis 4, maka ordinatnya adalah.....

A. -9
B. -8
C. 0
D. 8
E. 9

Pembahasan:
y = x2 - px + 7, maka a = 1, b = -p, c = 7

Absis (x) = −b2a
Karena absisnya = 4, maka:

⇔ = 4
⇔ = 4
⇔ = 4
⇔ p = 4 x 2
⇔ p = 8
Jadi, b = -p = -8


Ordinat (y) =b²−4ac−4ab²−4ac−4a
                   = (−8)²−4(1)(7)−4(1)
                   = 64−28−4
                   = 36−4
                   = 9
                   
                   
 Jadi, ordinatnya adalah -9
(Jawaban: A)


6.Nilai tertinggi fungsi f(x) = ax2 + 4x + a adalah 3, sumbu simetrinya adalah x = ......
A. -2
B. -1
C. -½
D. 2
E. 4
Pembahasan:
f(x) = ax2 + 4x + a

f.maks = = 3, syarat a < 0
⇔ = 3
⇔ 16 - 4a² = 3 x (-4a)
⇔ 16 - 4a² = -12a
⇔ 16 - 4a² + 12a = 0

⇔ 4a2- 12a - 16 = 0
⇔ a2- 3a - 4 = 0
⇔ (a + 1)(a - 4) = 0
⇔ a = -1 atau a = 4 (tidak memenuhi)


Sumbu simetri   = −b2a−b2a
                        = −42(−1)
                        = −4−2
                        = 2
                       
                        (Jawaban: D)

7. Nilai k yang harus diambil supaya f(x) = kx2 + 16x + 4k selalu mempunyai nilai positif adalah......
A. k < -4 atau k > 4
B. -4 < k < 4
C. 0 < k < 4
D. k > 4
E. k < 4
Pembahasan:
Selalu mempunyai nilai positif = definit positif, syarat:
1) D < 0
⇔ b2- 4ac < 0
⇔ 162- 4(k)(4k) < 0
⇔ 162- 16k2 < 0
⇔ 16 - k2 < 0
⇔ (4 - k)(4 + k) < 0
⇔ k < -4 atau k > 4 --------------------(1)

2) a > 0
    k > 0  ----------------------------------(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh k > 4
(Jawaban: D)

8. Agar kurva y = mx² - 2mx + m seluruhnya terletak di atas kurva y = 2x² - 3 maka konstanta m memenuhi.....
A. m > 6
B. m > 2
C. 2 < m < 6
D. -6 < m < 2
E. -6 < m < 2
Pembahasan:
Syarat: y₁ > y₂
mx² - 2mx + m > 2x² - 3
mx² - 2mx + m - 2x² + 3 > 0
(m - 2)² - 2mx + (m + 3) > 0

Syarat definit positif adalah:
(1) a > 0
    (m - 2) > 0
     m  > 2 ................(1)

(2) D < 0
b² - 4ac < 0
(-2m)² - 4(m - 2)(m + 3) < 0
      4m² - 4m² - 4m + 24 < 0
                        -4m + 24 < 0
                               -4m  <  -24
                                    m > 6 .........(2)

Irisan (1) dan (2) adalah m > 6
(Jawaban: A)

• Fungsi Rasional

Contoh 1

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Untuk y = 1/x dalam kuadran III,

1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik fungsi tersebut.
2. Mendeskripsikan apa yang akan terjadi pada saat x mendekati nol.

Pembahasan Serupa dengan sifat grafiknya pada kuadran I, maka akan kita peroleh

1. Pada saat x mendekati negatif tak hingga, nilai y akan mendekati nol. Jika disimbolkan akan menjadi: x → –∞, y → 0.
2. Pada saat x mendekati nol dari kiri, nilai y akan mendekati negatif tak hingga. Pernyataan tersebut juga bisa kita tuliskan dengan simbol x → 0–, y → –∞.

Fungsi y = 1/x²

Dari pembahasan di atas, kita bisa mengetahui bahwa grafik dari fungsi ini akan mengalami jeda pada saat x = 0.

Namun demikian, sebab kuadrat dari sembarang bilangan negatif merupakan bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan terletak kdi atas sumbu-x.

Perhatikan bahwa fungsi y = 1/x² adalah fungsi genap.

Sama halnya dengan y = 1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga akan menghasilkan y yang mendekati nol. Jika kita tulis simbolnya maka akan menjadi: x → ∞, y → 0.

Hal ini adalah salah satu indikasi dari sifat asimtot dalam arah horizontal. Serta kita akan menyatakan y = 0 adalah asimtot horizontal dari fungsi y = 1/x dan y = 1/x². Secara umum,

Asimtot Horizontal
Diberikan sebuah konstanta k, garis y = k adalah asimtot horizontal dari fungsi V(x) apabila x bertambah tanpa batas, akan menimbulkan V(x) mendekati k: x → –∞, V(x) → k atau x → ∞, V(x) → k.

Pada gambar (a) di bawah ini menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = 1, yang menunjukan grafik f(x) sebagai translasi grafik y = 1/x ke atas sejauh 1 satuan.

Gambar (b) menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = –2, yang menunjukan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y = 1/x² ke bawah sejauh 2 satuan.

Contoh 2

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Berdasarkan gambar (b) di atas, pakailah notasi matematika guna:

1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik di atas.
2. Mendeskripsikan apa yang berlangsung pada saat x mendekati nol.

Pembahasan

1. Pada saat x → –∞, g(x) → –2. Ketika x → ∞, y → –2.
2. Pada saat x → 0–, g(x) → ∞. Ketika x → 0+, y → ∞.

Dari contoh 2b di atas, maka dapat diketahi bahwasannya pada saat x mendekati nol, g akan berubah menjadi sangat besar serta semakin bertambah tidak terbatas.

Hal tersebut adalah indikasi dari sifat asimtot dalam arah vertikal.

Dan kemudian kita akan menyebut garis x = 0 adalah asimtot vertikal untuk g (x = 0 juga adalah asimtot vertikal untuk f). Secara umum,

Asimtot Vertikal
Diberikan sebuah konstanta h, garis x = h adalah asimtot vertikal untuk fungsi V apabila x mendekati h, V(x) akan bertambah atau berkurang tanpa batas: pada saat x → h+, V(x) → ±∞ atau pada saat x → h–, V(x) → ±∞.

Mengidentifikasi dari asimtot horizontal dan vertikal sangatlah bermanfaat.

Sebab grafik y = 1/x dan y = 1/x² bisa ditransformasi dengan menggesernya ke arah vertikal maupun gorizontal. Fungsi,

adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x. Sementara untuk fungsi,

adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x². Kemudian perhatikan contoh yang ada di bawah ini:

Contoh 3

Menuliskan Persamaan dari Fungsi Rasional

Identifikasi fungsi yang diberikan oleh grafik pada gambar di bawah, lalu pakailah grafik tersebut untuk menuliskan persamaan fungsi tersebut. Anggaplah |a| = 1.

Pembahasan dari grafik di atas, dapat kita ketahui bahwasannya grafik tersebut adalah pergeseran dari fungsi y = 1/x ke kanan sejauh 2 satuan. Serta bergeser ke bawah sejauh 1 satuan.

Sehingga asimtot horizontal serta vertikal dari grafik di atas secara berturut-turut yaitu y = –1 dan x = 2. Maka dari itu, persamaan dari grafik di atas yaitu:

yang mana adalah bentuk dari pergeseran fungsi y = 1/x.

• Fungsi Irasional

Contoh soal 1

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x – 1   = x – 3

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal 1 kita tentukan dahulu syarat agar persamaan irasional berlaku yaitu:

• x – 1 ≥ 0 atau x ≥ 1.
• x – 3 ≥0 atau x ≥ 3.

Ambil syarat yang terbesar sehingga syarat yang berlaku pada persamaan irasional soal nomor 1 adalah x ≥ 3.

Selanjutnya kita hilangkan tanda akar dengan cara mengkuadratkan kedua ruas persamaan seperti dibawah ini:

• ( √ x – 1   )2 = (x – 3)2
• (x – 1) = x2 – 6x + 9
• x2 – 6x – x + 9 + 1 = 0
• x2 – 7x + 10 = 0
• (x – 2) (x – 5) = 0
• x = 2 atau x = 5

Karena syarat yang berlaku pada persamaan nomor 1 adalah x ≥ 3 maka nilai x yang memenuhi adalah x = 5. Jadi soal nomor 1 jawabannya adalah x = 5.

Untuk memeriksa apakah jawaban ini benar atau salah maka caranya cukup mudah yaitu dengan subtitusi x = 5 ke persamaan irasional nomor 1:

• √ x – 1   = x – 3
• √ 5 – 1   = 5 – 3
• √ 4   = 2
• 2 = 2

Kita lihat jawabannya sesuai.

Jika x = 2 kita subtitusi ke persamaan maka hasilnya sebagai berikut:

• √ 2 – 1   = 2 – 3
• 1 = – 1.

Kita lihat hasilnya tidak sesuai.

---

Contoh soal 2

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x2 – 9   = √ x + 3   .

Penyelesaian soal

Sama seperti nomor 1, kita tentukan dahulu syarat persamaan irasional yaitu:

• x2 – 9 ≥ 0 atau x2 ≥ 9 → x ≤ -3 atau x ≥ 3.
• x + 3 ≥ 0 atau x ≥ -3.

Kita lihat syarat pertama x ≤ -3 dan yang kedua x ≥ -3 jadi syarat yang berlaku adalah x = -3 dan x ≥ 3.

Setelah itu kita kuadratkan kedua ruas persamaan irasional sehingga didapat:

• (√ x2 – 9 )2 = ( √ x + 3 )2.
• x2 – 9 = x + 3
• x2 – x – 9 – 3 = 0
• x2 -x – 12 = 0
• (x – 4) (x + 3) = 0
• x = 4 atau x = -3

Berdasarkan syarat kedua nilai x memenuhi sehingga jawaban soal ini adalah x = – 3 dan x = 4.

Contoh soal 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ x – 5   < 2.

Penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita tentukan terlebih dahulu syarat agar pertidaksamaan irasional berlaku yaitu:

• x – 5 ≥ 0
• x ≥ 5

Selanjutnya kita kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan irasional sehingga didapat:

• (√ x – 5 )2 < 22.
• x – 5 < 4
• x < 4 + 5 atau x < 9

Lalu kita buat garis bilangan untuk menentukan irisan antara syarat x ≥ 5 dan x < 9.

Irisan pertidaksamaan irasional nomor 1

Berdasarkan gambar diatas maka himpunan pertidaksamaan irasional nomor 1 adalah 5 ≤ x < 9.

---

Contoh soal 5

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ x – 1   > 2

Penyelesaian soal

Syarat yang berlaku pada pertidaksamaan irasional diatas sebagai berikut:

• x – 1 ≥ 0.
• x ≥ 1.

Kemudian kita kuadratkan pertidaksamaan diatas sehingga didapat:

• ( √ x – 1  )2 > 22
• x – 1 > 4
• x > 4 + 1
• x > 5

Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini adalah x > 5.

---

Contoh soal 6

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ 16 – x2   ≤ x + 4.

Penyelesaian soal

Syarat pertidaksamaan irasional:

• 16 – x2 ≥ 0.
• x2 – 16 ≤ 0.
• (x – 4)(x + 4) ≤ 0.
• x = 4 dan x = -4
• -4 ≤ x ≤ 4

Kemudian kita kuadratkan pertidaksamaan seperti dibawah ini:

• ( √ 16 – x2 )2 ≤ (x + 4)2
• 16 – x2 ≤ x2 + 8x + 16
• 16 – x2 – x2 – 8x – 16 ≤ 0
• -2x2 – 8x ≤ 0
• 2x2 + 8x > 0
• 2x (x + 4) > 0
• x ≤ – 4 dan x ≥ 0

Lalu kita buat garis bilangan antara syarat dengan hasil diatas sebagai berikut:

Irisan pertidaksamaan irasional nomor 3

Jadi berdasarkan gambar diatas maka himpunan penyelesaian soal nomor 2 adalah x = -4 dan 0 ≤ x ≤ 4.

---

Contoh soal 7

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan √ 2x – 1   < √ x + 2  .

Penyelesaian soal

Syarat pertidaksamaan berlaku:

• 2x – 1 ≥ 0 atau x ≥ 1/2.
• x + 2 ≥ 0 atau x ≥ – 2.

Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan sehingga didapat:

• ( √ 2x – 1 )2 < ( √ x + 2 )2
• 2x – 1 < x + 2
• 2x – x < 2 + 1
• x < 3

irisan pertidaksamaan irasional nomor 4

Berdasarkan gambar diatas maka himpunan penyelesaian soal nomor 4 adalah 1/2 ≤ x < 3.

DAFTAR PUSTAKA

https://www.ruangsoal.id/2016/10/kumpulan-soal-lengkap-menyelesaikan_7.html?m=1

https://soalfismat.com/contoh-soal-persamaan-pertidaksamaan-irasional-dan-penyelesaiannya/

https://www.yuksinau.id/fungsi-rasional/