SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-LINEAR DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

 SYARIRA HANANDHITA PUTRI ILHAM

X IPS 1



SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-LINEAR DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA



Sebelumnya, mari kita sepakati penggunaan istilah dalam materi ini dulu. Sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua disebut sistem persamaan linear-kuadrat (SPLK). Berdasarkan karakteristik dari bagian kuadratnya, SPLK dikelompokkan sebagai berikut.

  1. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit.
  2. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit.


SPLK Dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit

        Bentuk umum SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk eksplisit dapat dituliskan sebagai berikut.

   { y=ax +b                        (Bagian linear)

   { y=px²+qx+r              (Bagian kuadrat)

dengan a,b,p,q,r bilangan real dan a,p ≠ 0


Sistem ini dapat diselesaikan dengan cara mensubstitusikan persamaan linear ke persamaan kuadrat, kemudian disederhanakan dan diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, atau rumus ABC.

      Secara umum, penyelesaian dari SPLK tersebut dapat ditentukan dengan melalui langkah-langkah berikut.
Langkah 1:
Substitusikan bagian linear y = ax + b ke bagian kuadrat y = px² + qx + r ,diperoleh

ax + b = px² + qx + r

px² + qx - ax +r - b = 0

px² + (q - a)x + r - b =0

Persamaan terakhir merupakan persamaan kuadrat satu variabel, yaitu x . Selesaikan persamaan kuadrat tersebut untuk mencari nilai x .
Langkah 2:
Nilai-nilai x yang didapat pada Langkah 1 tadi (jika ada) disubstitusikan ke persamaan y=ax + b (agar perhitungannya lebih mudah), untuk memperoleh nilai y . Kita ingat bahwa nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat px² + (q - a)x + r - b =0 disebut akar-akar dari persamaan kuadrat itu. Banyak nilai x (banyak akar) dari persamaan kuadrat tersebut ditentukan oleh nilai diskriminan D= (q - a)² - 4p(r - b)Dengan demikian, banyak anggota dalam himpunan penyelesaian SPLK.

 { y=ax +b

 { y=px²+qx+r 

ditentukan oleh nilai diskriminan D dengan aturan berikut.

  1. Jika D>0, maka SPLK tersebut mempunyai dua anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
  2. Jika D=0, maka SPLK tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
  3. Jika D<0, maka SPLK tersebut tidak mempunyai anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Dengan kata lain, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, dinotasikan ∅ atau { }.

       Anggota dari himpunan penyelesaian suatu SPLK dapat ditafsirkan secara geometris sebagai koordinat titik potong antara garis { y=ax+bdengan parabola { y = px² + qx + r 

Kedudukan garis terhadap parabola itu ditentukan oleh nilai diskriminan  D dengan aturan berikut.

  1. Jika D>0, maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.
  2. Jika D=0, maka garis memotong parabola tepat di satu titik. Dengan kata lain, garis itu menyinggung parabola.
  3. Jika , maka garis dan parabola tidak berpotongan.

Perhatikan gambar kedudukan garis  dan parabola { y = px² + qx + r berikut agar lebih jelas.

      SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit

  Persamaan dua variabel y dan x dapat dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y= f(x) ata y= f(y)

 Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x,y) = 0 

Contoh persamaan dua variabel dalam bentuk implisit adalah sebagai berikut.
a. x² + y² + 8= 0
b. x² + 2y² - 3x + y = 0
c. x²- y² - 3x + 4y + 9 = 0
d. 2x² + xy + y² + 3y - 4 = 0
        Secara umum, SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk implisit dapat dituliskan sebagai berikut.

{ px + qy + r = 0                                (bagian linear)           

{ ax² + by² + cxy + dx + ey + f=0    (bagian kuadrat berbentuk implisit)

dengan semuanya merupakan bilangan real dan p,q,a,b ≠ 0 SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dibagi menjadi dua, yaitu bentuk implisit yang tak dapat difaktorkan dan bentuk implisit yang dapat difaktorkan.


Soal Nomor 1

Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.
y = x2 – 1
x – y = 3
Penyelesaian:
Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.
y = x – 3
subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 1 sehingga kita peroleh:
⇒ x – 3 = x2 – 1
⇒ x – 3 = x2 – 1
⇒ x2 – x – 1 + 3 = 0
⇒ x2 – x + 2 = 0
Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh:
D = b2 – 4ac
D = (−1)2 – 4(1)(2)
D = 1 – 8
D = −7
Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak memiliki penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK di atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis ∅. Interpretasi geometri dari SPLK ini adalah tidak adanya titik singgung maupun titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.

Soal nomor 2
Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.
x + y + 2 = 0
y = x2 – x – 2
Penyelesaian:
Persamaan x + y + 2 = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.
y = −x – 2
Subtitusikan nilai y = −x – 2  ke persamaan y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:
⇒ −x – 2 = x2 – x – 2
⇒ x2 – x + x – 2 + 2 = 0
⇒ x2 = 0
⇒ x = 0
Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y = −x – 2 sehingga diperoleh:
⇒ y = −(0) – 2
⇒ y = –2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, −2)}. Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0, −2) seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini

Soal nomor 3
Carilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) berikut ini, kemudian buatlah grafik penyelesaiannya (sketsa tafsiran geometri).
a. y = x – 1 dan y = x2 – 3x + 2
b. y = x – 3 dan y = x2 – x – 2
c. y = −2x + 1 dan y = x2 – 4x + 3
Jawab:
a. Subtitusikan bagian linear y = x – 1 ke bagian kuadrat y = x2 – 3x + 2, sehingga diperoleh:
⇒ x – 1 = x2 – 3x + 2
⇒ x2 – 3x – x + 2 + 1 = 0
⇒ x2 – 4x + 3 = 0
⇒ (x – 1)(x – 3) = 0
⇒ x = 1 atau x = 3
Nilai x = 1 atau x = 3 disubtitusikan ke persamaan y = x – 1.
Untuk x = 1 diperoleh y = 1 – 1 = 0 → (1, 0)
Untuk x = 3 diperoleh y = 3 – 1 = 2 → (3, 2)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,0), (3,2)}. Tafsiran geometrinya, garis y = x – 1 memotong parabola y = x2 – 3x + 2 di dua titik yang berlainan yaitu di (1, 0) dan di (3, 2). Perhatikan gambar di bawah ini.

b. Subtitusikan y = x – 3 ke y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:
⇒ x – 3 = x2 – x – 2
⇒ x2 – x – x – 2 + 3 = 0
⇒ x2 – 2x + 1 = 0
⇒ (x – 1)2 = 0
⇒ x = 1
Nilai x = 1 disubtitusikan ke persamaan y = x – 3 sehingga didapatkan
⇒ y = 1 – 3 = −2 → (1, −2)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, −2)}. Tafsiran geometrinya, garis y = x – 3 menyinggung parabola y = x2 – x – 2 di titik (1, −2). Perhatikan gambar di bawah ini.

c. Subtitusikan y = −2x + 1 ke  y = x2 – 4x + 3, diperoleh
⇒ −2x + 1 = x2 – 4x + 3
⇒ x2 – 4x + 2x + 3 – 1 = 0
⇒ x2 – 2x + 2 = 0
Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real, karena D = (−2)2 – 4(1)(2) = −4 < 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, ditulis ∅. Tafsiran geometrinya, garis y = −2x + 1 tidak memotong maupun menyinggung parabola y = x2 – 4x + 3. Perhatikan gambar berikut.

Soal nomor 4
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.
x + y – 1 = 0 ……….bagian linear
x2 + y2 – 25 = 0 …..bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan
Jawab:
Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x yaitu sebagai berikut.
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ y = 1 – x

Lalu subtitusikan persamaan y = 1 – x ke persamaan kuadrat x2 + y2 – 25 = 0, sehingga kita peroleh:
⇒ x2 + y2 – 25 = 0
⇒ x2 + (1 – x)2 – 25 = 0
⇒ x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0
⇒ 2x2 – 2x – 24 = 0
⇒ x2 – x – 12 = 0
⇒ (x + 3)(x – 4) = 0
⇒ x = −3 atau x = 4

Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = −3 atau x = 4 ke persamaan linear x + y – 1 = 0 yaitu sebagai berikut.
● untuk x = −3 diperoleh:
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ −3 + y – 1 = 0
⇒ y – 4 = 0
⇒ y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (−3, 4).
● untuk x = 4 diperoleh:
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ 4 + y – 1 = 0
⇒ y + 3  = −3
⇒ y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (4, −3).

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(−3, 4), (4, −3)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPLK tersebut dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong garis x + y = 1 dengan lingkaran x2 + y2 = 25. Perhatikan gambar berikut ini.

Soal nomor 5
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.
x + y – 1 = 0
x2 + y2 – 25 = 0
Jawab:
Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x yaitu sebagai berikut.
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ y = 1 – x

Lalu subtitusikan persamaan y = 1 – x, ke persamaan kuadrat x2 + y2 – 25 = 0, sehingga kita peroleh:
⇒ x2 + y2 – 25 = 0
⇒ x2 + (1 – x)2 – 25 = 0
⇒ x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0
⇒ 2x2 – 2x – 24 = 0
⇒ x2 – x – 12 = 0
⇒ (x + 3)(x – 4) = 0
⇒ x = −3 atau x = 4

Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = −3 atau x = 4 ke persamaan linear x + y – 1 = 0 yaitu sebagai berikut.
■ untuk x = −3 diperoleh:
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ −3 + y – 1 = 0
⇒ y – 4 = 0
⇒ y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (−3, 4).
■ untuk x = 4 diperoleh:
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ 4 + y – 1 = 0
⇒ y + 3  = −3
⇒ y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (4, −3).
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(−3, 4), (4, −3)}.

DAFTAR PUSTAKA
https://mathcyber1997.com/sistem-linear-kuadrat/
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/06/kumpulan-contoh-soal-dan-jawaban-splk.html?m=0












Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Lucy Guo: Dari Anak Jenius Hingga Miliarder Teknologi

Gambar
Lucy Guo: Dari Anak Jenius Hingga Miliarder Teknologi Syarira Hanandhita Putri Ilham, 20240101256 28 September 2025  00.15                                               ( FOTO: Credit to The Indian Express) Perjalanan Hidup   Lucy Guo lahir pada tahun 1994 di California, Amerika Serikat, sebagai anak dari keluarga imigran Tionghoa. Sejak kecil ia sudah menunjukkan ketertarikan terhadap teknologi, belajar pemrograman secara mandiri dan mencari cara menghasilkan uang dari ide-ide kecil seperti menjual barang koleksi. Ia kemudian masuk ke Carnegie Mellon University untuk mendalami Ilmu Komputer, tetapi di tengah jalan memutuskan untuk keluar setelah mendapat kesempatan mengikuti Thiel Fellowship, sebuah program beasiswa bagi wirausahawan muda.  Setelah keluar dari kampus, Lucy mengambil berbagai posisi di perusahaan-perusahaan teknologi seperti Facebook, Snapchat, da...
Baca selengkapnya

LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN

Gambar
  SYARIRA HANANDHITA PUTRI ILHAM  X IPS 1  MATEMATIKA WAJIB LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN Luas Segi-n Beraturan Segi n beraturan pada umumnya terbagi menjadi beberapa jenis seperti segitiga, segiempat, segi lima, segi enam, seni tujuh, segi delapan dan sebagainya. Segi n beraturan ini memiliki rumus yang berbeda-beda. Bagaimana rumus segi n beraturan itu? Bangun datar segi n beraturan pada umumnya berasal dari lingkaran yang dibagi menjadi beberapa bagian yang besarnya sama sehingga bentuknya menyerupai segitiga sama kaki. Segi n beraturan memang berasal dari bagian-bagian kecil pada lingkaran. Untuk itu rumus segi n beraturan melibatkan jari jari dan sudut pusat di dalamnya. Sudut pusat ialah sudut segitiga (dinyatakan dalam tanda sudut berwarna merah) yang memiliki besar 360°/n. Selain itu dalam bangun datar segi n beraturan terdapat sisi yang dinyatakan dalam bentuk x. Untuk...
Baca selengkapnya

REVIEW SERIAL "DARK": SERIAL NETFLIX TERBAIK YANG UNDERRATED

Gambar
  DARK Serial Dark pertama kali dirilis pada tahun 2017, disusul dua musim berikutnya pada 2019 dan 2020, hasil garapan Baran bo Odar dan Jantje Friese, bukan sekadar kisah misteri anak hilang biasa. Serial Netflix asal Jerman ini membawa penonton berkelana menembus waktu, menggabungkan ilmu pengetahuan, filsafat, dan ketegangan ke dalam misteri yang kompleks, serta mengungkap rahasia kelam empat keluarga di kota fiktif Winden, dan bergulat dengan paradoks yang rumit. Dengan alur cerita yang memutar balik waktu, karakter yang mendalam, dan penggarapan visual yang cermat, "Dark" menciptakan pengalaman menonton yang luar biasa dan penuh teka-teki. Membuat serial ini menjadi salah satu serial garapan Netflix terbaik dengan ide cerita yang gila. Saya sangat menyukai seluruh aspek yang ada di dalamnya dan semuanya sangat mengagumkan bagi saya. Saya menyukai sinematografinya, scoring-nya, seluruh rangkaian plot ceritanya, dan seluruh karakternya. Saya juga menyukai tema ...
Baca selengkapnya