FUNGSI: KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL

SYARIRA HANANDHITA PUTRI ILHAM

X IPS 1

FUNGSI: KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

FUNGSI RASIONAL

Fungsi Rasional
Fungsi rasional merupakan fungsi yang mempunyai bentuk umum

Dengan p dan d adalah polinomial dan d(x) ≠ 0. Domain dari V(x) merupakan seluruh bilangan real, kecuali pembuat nol dari d.

Adapun fungsi rasional yang paling sederhana, yakni fungsi y = 1/x dan fungsi y = 1/x².

Di mana keduanya mempunyai pembilang konstanta sertaa penyebut polinomial dengan satu suku. Dan kedua fungsi tersebut mempunyai domain semua bilangan real kecuali x ≠ 0.

Fungsi y = 1/x

Fungsi ini disebut juga sebagai fungsi kebalikan sebab setiap kita mengambil sembarang x (kecuali nol) maka akan menghasilkan kebalikannya sebagai nilai dari fungsi tersebut.

Yang artinya x yang besar akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil, begitu juga sebaliknya. Tabel dan grafik dari fungsi tersebut bisa dilihat pada gambar di bawah ini.

soal grafik fungsi rasional dan penyelesaiannya

Tabel dan grafik di atas menunjukan beberapa hal yang menarik.

Yang pertama, grafik tersebut lolos pada uji garis vertikal. Yang berarti setiap garis vertikal pada bidang koordinat Cartesius akan memotong grafik pada maksimal satu titik.

Sehingga, y = 1/x adalah sebuah fungsi.

Yang kedua, sebab pembagian tidak terdefinisi jadi saat pembaginya nol, maka nol tidak akan mempunyai pasangan, sehingga menghasilkan jeda pada x = 0.

Hal tersebut sesuai dengan domain dari fungsi tersebut, yakni seluruh x anggota bilangan real kecuali 0.

Yang ketiga, fungsi tersebut adalah fungsi ganjil, dengan salah satu cabangnya terletak di kuadran I.

Sementara yang lainnya berada pada kuadran III.

Kemudian yang terakhir, pada kuadran I, saat x menuju tak hingga, nilai y menuju dan mendekati nilai nol.

Secara simbolis bisa kit tuliskan sebagai x → ∞, y → 0. Secara grafis, kurva dari grafik fungsi tersebut akan mendekati sumbu-x pada saat x mendekati tak hingga.

Tak hanya itu saja, kita juga bisa mengamati bahwa pada saat x mendekati nol dari kanan maka nilai y akan mendekati bilangan real positif yang sangat besar (positif tak hingga): x → 0+, y → ∞.

Untuk catatan, tanda + atau – yang berada di atas akan mengindikasikan arah dari pendekatan. Yakni dari sisi positif (+) atau dari sisi negatif (–).

Contoh 1

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Untuk y = 1/x dalam kuadran III,

Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik fungsi tersebut.
Mendeskripsikan apa yang akan terjadi pada saat x mendekati nol.

Pembahasan Serupa dengan sifat grafiknya pada kuadran I, maka akan kita peroleh

Pada saat x mendekati negatif tak hingga, nilai y akan mendekati nol. Jika disimbolkan akan menjadi: x → –∞, y → 0.
Pada saat x mendekati nol dari kiri, nilai y akan mendekati negatif tak hingga. Pernyataan tersebut juga bisa kita tuliskan dengan simbol x → 0–, y → –∞.

Fungsi y = 1/x²

Dari pembahasan di atas, kita bisa mengetahui bahwa grafik dari fungsi ini akan mengalami jeda pada saat x = 0.

Namun demikian, sebab kuadrat dari sembarang bilangan negatif merupakan bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan terletak kdi atas sumbu-x.

Perhatikan bahwa fungsi y = 1/x² adalah fungsi genap.

rasional dan grafiknya pdf

Sama halnya dengan y = 1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga akan menghasilkan y yang mendekati nol. Jika kita tulis simbolnya maka akan menjadi: x → ∞, y → 0.

Hal ini adalah salah satu indikasi dari sifat asimtot dalam arah horizontal. Serta kita akan menyatakan y = 0 adalah asimtot horizontal dari fungsi y = 1/x dan y = 1/x². Secara umum,

Asimtot Horizontal
Diberikan sebuah konstanta k, garis y = k adalah asimtot horizontal dari fungsi V(x) apabila x bertambah tanpa batas, akan menimbulkan V(x) mendekati k: x → –∞, V(x) → k atau x → ∞, V(x) → k.

Pada gambar (a) di bawah ini menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = 1, yang menunjukan grafik f(x) sebagai translasi grafik y = 1/x ke atas sejauh 1 satuan.

Gambar (b) menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = –2, yang menunjukan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y = 1/x² ke bawah sejauh 2 satuan.

integral rasional

Contoh 2

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Berdasarkan gambar (b) di atas, pakailah notasi matematika guna:

Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik di atas.
Mendeskripsikan apa yang berlangsung pada saat x mendekati nol.

Pembahasan

Pada saat x → –∞, g(x) → –2. Ketika x → ∞, y → –2.
Pada saat x → 0–, g(x) → ∞. Ketika x → 0+, y → ∞.

Dari contoh 2b di atas, maka dapat diketahi bahwasannya pada saat x mendekati nol, g akan berubah menjadi sangat besar serta semakin bertambah tidak terbatas.

Hal tersebut adalah indikasi dari sifat asimtot dalam arah vertikal.

Dan kemudian kita akan menyebut garis x = 0 adalah asimtot vertikal untuk g (x = 0 juga adalah asimtot vertikal untuk f). Secara umum,

Asimtot Vertikal
Diberikan sebuah konstanta h, garis x = h adalah asimtot vertikal untuk fungsi V apabila x mendekati h, V(x) akan bertambah atau berkurang tanpa batas: pada saat x → h+, V(x) → ±∞ atau pada saat x → h–, V(x) → ±∞.

Mengidentifikasi dari asimtot horizontal dan vertikal sangatlah bermanfaat.

Sebab grafik y = 1/x dan y = 1/x² bisa ditransformasi dengan menggesernya ke arah vertikal maupun gorizontal. Fungsi,

adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x. Sementara untuk fungsi,

adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x². Kemudian perhatikan contoh yang ada di bawah ini:

Contoh 3

Menuliskan Persamaan dari Fungsi Rasional

Identifikasi fungsi yang diberikan oleh grafik pada gambar di bawah, lalu pakailah grafik tersebut untuk menuliskan persamaan fungsi tersebut. Anggaplah |a| = 1.

asimtot

Pembahasan dari grafik di atas, dapat kita ketahui bahwasannya grafik tersebut adalah pergeseran dari fungsi y = 1/x ke kanan sejauh 2 satuan. Serta bergeser ke bawah sejauh 1 satuan.

Sehingga asimtot horizontal serta vertikal dari grafik di atas secara berturut-turut yaitu y = –1 dan x = 2. Maka dari itu, persamaan dari grafik di atas yaitu:

yang mana adalah bentuk dari pergeseran fungsi y = 1/x.

FUNGSI KUADRAT

Suatu fungsi f pada himpunan bilangan real (R) yang ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat. Ada dua cara menggambar grafik fungsi kuadrat yaitu dengan menggunakan tabel koordinat bebarapa titik dan menggunakan titik-titik penting yang dilalui grafik. Titik-titik penting tersebut adalah titik potong grafik dengan sumbu X, titik potong grafik dengan sumbu Y dan titik balik.

Berdasarkan nilai diskriminannya (D = b2 – 4ac), grafik fungsi kuadrat (y = ax2 + bx + c) ) terdiri dari 6 kemungkinan yaitu sebagai berikut.

Jika a > 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. Jenis titik baliknya minimum.
Jika a > 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di satu titik atau menyinggung sumbu X. Jenis titik baliknya minimum.
Jika a > 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit positif). Jenis titik baliknya minimum.
Jika a < 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda. Jenis titik baliknya maksimum.
Jika a < 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X dan titik baliknya maksimum.
Jika a < 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit negatif) dan titik baliknya maksimum.

Rumus yang berlaku pada fungsi kuadrat sebagai berikut.

Contoh soal fungsi kuadrat

Contoh soal 1

Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + 4x – 21 pada himpunan bilangan nyata.

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menggambar grafik fungsi kuadrat sebagai berikut:

Menentukan titik potong sumbu x dengan cara pemfaktoran:
x2 + 4x – 21 = 0
(x1 + 7) (x2 – 3) = 0
x1 = -7 dam x2 = 3
Titik potong pada sumbu X adalah A(-7 ; 0) dan B ((3 ; 0)
Menentukan titik potong sumbu Y dengan subtitusi x = 0 atau f(0)
f(x) = x2 + 4x – 21
f(0) = 02 + 4 . 0 – 21 = -21
Jadi titik potong sumbu Y adalah (0 ; -21)
Menentukan titik balik (xp , yp) dengan rumus dibawah ini:

xp =

-b

-4

2 . 1

= – 2.
yp =

– D

4 . a

– (b2 – 4 . a . c)

4 . a

yp =

– (42 – 4 . 1 . -21)

4 . 1

= – 25.
Jadi titik balik (-2 ; -25)

Dengan demikian gambar grafik kuadrat soal nomor 1 sebagai berikut:

Selidikilah apakah grafik fungsi berikut memotong sumbu X, menyinggung sumbu X atau tidak memotong sumbu X.

y = x2 + 9x + 20
y = 2x2 – 3x + 1

Pembahasan / penyelesaian soal

a = 1 dan D = b2 – 4ac = 92 – 4 . 1 . 20 = 81 – 80 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.
a = 2 dan D = b2 – 4ac = -32 – 4 . 2 . 1 = 9 – 8 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.

Contoh soal 3

Selidiki apakah fungsi kuadrat dibawah ini tergolong definit positif, definit negatif atau bukan keduanya.

y = 3x2 – 4x – 2
y = 4x2 – 3x + 5

Pembahasan / penyelesaian soal

Definit positif jika a > 0 dan D < 0 sedangkan definit negatif jika a < 0 dan D < 0.

a = 3 dan D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . -2 = 16 + 24 = 40. Karena a > 0 dan D > 0 maka fungsi kuadrat bukan definit positif dan bukan definit negatif (bukan keduanya).
a = 1 dan D = b2 – 4ac = (-3)2 – 4 . 4 . 5 = 9 – 80 = – 71. Karena a > 0 dan D < 0 maka fungsi kuadrat definit positif.

FUNGSI IRASIONAL

persamaan irasional adalah persamaan yang variabelnya berada di bawah tanda akar dan tidak dapat ditarik keluar tanda akar. Untuk semesta bilangan real, persamaan irasional terdefinisi jika komponen yang memuat variabel di bawah tanda akar bernilai lebih dari atau sama dengan nol.

Pertidaksamaan Irasional merupakan suatu bentuk pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam tanda akarnya. Bentuk umum pertidaksamaan irasional ialah sebagai berikut ini :